【大学入学共通テスト数学 I・A】【二次関数と図形と計量（辺上の点と長さの最小値）】無料練習問題と詳しい解説

二次関数と図形と計量

$\triangle ABC$ があり、 $AB = 3$ , $AC = 4$ , $\angle BAC = 60^\circ$ であるとする。
辺 $BC$ 上に点 $P$ をとり、 $BP = x$ とおく。線分 $AP$ の長さや、 $\triangle ABP$ の外接円の半径について考える。

グラフを読み込み中…

グラフ

Alt: $\triangle ABC$ と、辺 $BC$ 上の点 $P$ 。 $AB=3$ , $AC=4$ , $\angle A = 60^\circ$ 。線分 $AP$ が引かれている。

問 1

図形と計量

辺 $BC$ の長さとして正しいものを、次の A〜D から一つ選べ。

$3$

$\sqrt{13}$

$\sqrt{19}$

$5$

問 2

図形と計量

$\cos(\angle ABC)$ の値として正しいものを、次の A〜D から一つ選べ。

$\frac{11}{2\sqrt{13}}$

$\frac{5}{2\sqrt{13}}$

$\frac{5\sqrt{13}}{26}$

$\frac{\sqrt{13}}{13}$

問 3

二次関数

$\triangle ABP$ に余弦定理を適用し、線分 $AP$ の長さの2乗 $AP^2$ を $x$ の関数 $L(x)$ として表せ。

$L(x) = x^2 - \frac{6\sqrt{13}}{13}x + 9$

$L(x) = x^2 - 6x + 9$

$L(x) = x^2 - \frac{30}{13}x + 9$

$L(x) = x^2 - \frac{30\sqrt{13}}{13}x + 9$

問 4

二次関数

問3で得られた $L(x)$ を用いて、線分 $AP$ の長さが最小となるときの $x$ の値として正しいものを、次の A〜D から一つ選べ。ただし $0 le x le \sqrt{13}$ とする。

$x = 0$

$x = \frac{3\sqrt{13}}{13}$

$x = \sqrt{13}$

$x = 3$

$R(x)$ は $x=0$ で最小となる。

$R(x)$ は $AP$ の長さが最小となるときに最小となる。

$R(x)$ は $x=\sqrt{13}$ で最小となる。

$R(x)$ は $x$ の値によらず一定である。

二次関数と図形と計量

グラフを読み込み中…

グラフ

Alt: $\triangle ABC$ と、辺 $BC$ 上の点 $P$ 。 $AB=3$ , $AC=4$ , $\angle A = 60^\circ$ 。線分 $AP$ が引かれている。

問 1

図形と計量

辺 $BC$ の長さとして正しいものを、次の A〜D から一つ選べ。

$3$

$\sqrt{13}$

$\sqrt{19}$

$5$

問 2

図形と計量

$\cos(\angle ABC)$ の値として正しいものを、次の A〜D から一つ選べ。

$\frac{11}{2\sqrt{13}}$

$\frac{5}{2\sqrt{13}}$

$\frac{5\sqrt{13}}{26}$

$\frac{\sqrt{13}}{13}$

問 3

二次関数

$\triangle ABP$ に余弦定理を適用し、線分 $AP$ の長さの2乗 $AP^2$ を $x$ の関数 $L(x)$ として表せ。

$L(x) = x^2 - \frac{6\sqrt{13}}{13}x + 9$

$L(x) = x^2 - 6x + 9$

$L(x) = x^2 - \frac{30}{13}x + 9$

$L(x) = x^2 - \frac{30\sqrt{13}}{13}x + 9$

問 4

二次関数

$x = 0$

$x = \frac{3\sqrt{13}}{13}$

$x = \sqrt{13}$

$x = 3$

$R(x)$ は $x=0$ で最小となる。

$R(x)$ は $AP$ の長さが最小となるときに最小となる。

$R(x)$ は $x=\sqrt{13}$ で最小となる。

$R(x)$ は $x$ の値によらず一定である。