【大学入学共通テスト数学 I・A】【整数の性質（最大公約数と一次不定方程式）】無料練習問題と詳しい解説

線形結合とユークリッドの互除法

整数 $x, y$ に対し， $26x+65y=k$ の可解性や解の表し方を考える。

問 1

整数の性質（最大公約数）

$\gcd(26,\,65)$ の値として正しいものを 1 つ選べ。

問 2

整数の性質（可解条件）

一次不定方程式 $26x+65y=1$ の整数解の存在について正しいものを 1 つ選べ。

整数解は存在しない

整数解はただ $1$ 組だけ存在する

整数解は無数に存在するが $x>0$ に限る

整数解は無数に存在するが $y>0$ に限る

問 3

整数の性質（一次不定方程式の解）

$26x+65y=13$ の整数解のうち， $x$ が正の最小の値を求めよ。

解答:

ヒント: 整数で答えよ

問 4

解法手順の並び替え（ユークリッド法）

方程式 $26x+65y=13$ の一般解を導く手順として適切な並びを 1 つ選べ。

A： $65=2\times26+13,\ 26=2\times13+0$ より $\gcd(26,65)=13$ 。
B： $13=65-2\times26$ と表す。
C： $26x+65y=13$ の一つの解として $x=-2,\ y=1$ を得る。
D：一般解は $x=-2+5t,\ y=1-2t\ (t\in\mathbb{Z})$ と表す。

A → B → C → D

A → C → B → D

B → A → C → D

A → B → D → C