【大学入学共通テスト数学 I・A】【二次関数と整数の性質（条件を満たす整数の個数）】無料練習問題と詳しい解説

動く定義域を持つ二次関数と条件を満たす整数

関数 $f(x) = x^2 - 4x + 1$ の、ある定義域における最大値と最小値について考える。

定数 $a$ は $a \ge 0$ を満たすものとし、定義域を $a \le x \le a+2$ とする。

問 1

関数・グラフ

関数 $f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めなさい。

$(1, -2)$

$(-2, 13)$

$(2, -3)$

$(-2, -3)$

問 2

関数・グラフ, 計算・式変形

定義域 $a \le x \le a+2$ における $f(x)$ の最小値を $m(a)$ とするとき、 $m(a)$ が $f(a)$ に等しくなる $a$ の値の範囲を選択肢から選びなさい。

$0 \le a \le 1$

$1 < a < 2$

$a = 2$

$a > 2$

問 3

関数・グラフ, 計算・式変形

定義域 $a \le x \le a+2$ における $f(x)$ の最大値を $M(a)$ とするとき、 $M(a)$ を $a$ を用いて表した式と、その対応する $a$ の範囲の組合せとして正しいものを、次の(A)～(F)からすべて選びなさい。

$a^2 - 3 \quad (0 \le a \le 1)$

$a^2 + 1 \quad (a \ge 1)$

$a^2 - 4a + 1 \quad (a > 1)$

$a^2 - 4a + 1 \quad (0 \le a \le 1)$

$a^2 + 1 \quad (0 \le a \le 1)$

$a^2 - 3 \quad (a \ge 1)$

問 4

整数の性質, 複数表現統合

$a$ が $a \ge 0$ を満たす整数であるとき、 $M(a)$ が素数となるような $a$ の値をすべて含むものを、次の選択肢から選びなさい。

$a=2, 4, 6$

$a=4, 5, 8$

$a=4, 8, 10$

$a=8, 9, 10$

問 5

推論, 整数の性質

$M(a)$ が素数となるような $a$ の値について、 $a \ge 4$ のとき、 $M(a) = a^2 - 3$ が素数となるならば、 $a$ は $\text{ア}$ の倍数ではない。また、 $a$ は $\text{イ}$ の倍数ではない可能性があるが、 $a \le 10$ の範囲の素数となる $a$ のうち、 $a = 10$ は $\text{イ}$ の倍数である。\n $\,\text{ア}$ と $\text{イ}$ に当てはまる、異なる $2$ 以上の整数を選びなさい。

ア: 2, イ: 3

ア: 3, イ: 4

ア: 3, イ: 5

ア: 4, イ: 5