【大学入学共通テスト数学 I・A】【二次関数と確率・データ（文化祭）】無料練習問題と詳しい解説

二次関数・整数・確率・データ（文化祭の屋台計画）

文化祭でクレープ屋台を出す。売価を $x$ （百円）とする。1日の販売個数は $q(x)=-10x+140\;(0 \le x \le 12)$ と近似できる。1個あたりの材料費は $120$ 円（ $1.2$ 百円），固定費は $8000$ 円（ $80$ 百円）である。1日の利益（百円）を $P(x)=(x-1.2),\;q(x)-80$ と定める。また，抽選会では赤玉・白玉・青玉を用い，過去の待ち時間（分）のデータは次の8個であった： $51,\;45,\;47,\;49,\;52,\;48,\;50,\;46$ 。

問 1

関数・グラフ（二次関数の最大値）

利益 $P(x)$ は二次関数である。利益が最大となるときの1日の最大利益（円） として正しいものを1つ選べ。

31,000

32,000

32,960

35,000

問 2

整数の性質（剰余・倍数）

次の命題のうち，常に成り立つものを1つ選べ。

任意の整数 $n$ に対し $n^2+n$ は奇数である。

任意の整数 $n$ に対し $n^2-n$ は $2$ の倍数である。

任意の奇数 $n$ に対し $\dfrac{n^2-1}{6}$ は整数である。

任意の整数 $n$ に対し $n^3-n$ は $4$ の倍数である。

問 3

場合の数と確率（同時抽出）

箱に赤玉2個・白玉2個・青玉2個の計6個が入っている。同時に2個を取り出す（順序は区別しない）。少なくとも1個が赤玉である確率として正しいものを1つ選べ。

問 4

データの分析（平均値の計算）

待ち時間データ $51,\;45,\;47,\;49,\;52,\;48,\;50,\;46$ の標本平均（分） を小数第1位まで求め，数値のみで答えよ（小数第2位を四捨五入）。

解答:

ヒント: 小数で答えよ、小数第1位まで四捨五入

問 5

解法手順の並び替え（平方完成）

利益関数 $P(x)$ の最大値を求めるまでの手順として適切な並びを1つ選べ。

A： $P(x)=(x-1.2)(-10x+140)-80$ を展開して $P(x)=-10x^2+152x-248$ とする。
B：平方完成して $P(x)=-10{(x-7.6)^2-57.76}-248$ の形にする。
C： $0 \le x \le 12$ に対し頂点の $x=7.6$ が範囲内か確認する。
D：係数 $-10<0$ より最大は頂点で取り， $x=7.6$ で最大になることを結論する。

（選択肢は例：A → C → B → D のように表す）

A → B → C → D

A → C → B → D

B → A → C → D

A → B → D → C