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二次関数の頂点・軸・グラフ

平方完成した式から頂点と軸を読み取り、グラフの特徴をつかみます。

この教材でできるようになること

平方完成した二次関数は、頂点が見える形になっています。まずは数字の例で確認しましょう。

$y=(x-2)^2-1$

したがって、 $y=(x-2)^2-1$ の頂点は $(2,-1)$ 、軸は $x=2$ です。平方部分が0になる $x$ が軸の位置になります。

グラフを読み込み中…

頂点 $(2,-1)$ 、軸 $x=2$ 、x軸との共有点 $(1,0),(3,0)$ をもつ下に凸の放物線。ドラッグや拡大で形を確認できます。

まず頂点を確認し、軸に対して左右対称に点を取ると、放物線の形が見えてきます。

$y=a(x-p)^2+q$

$a>0$ なら下に凸（上に開く）で、頂点で最小値をとります。 $a<0$ なら上に凸（下に開く）で、頂点で最大値をとります。 $|a|$ が大きいほど、放物線は細くなります。

$a>0\Rightarrow\text{下に凸・最小値 }q\qquad a<0\Rightarrow\text{上に凸・最大値 }q$

グラフを読み込み中…

紫色のU字型は下に凸で頂点が最小、橙色の山型は上に凸で頂点が最大。共通の頂点 $(0,0)$ を赤い点で示しています。各曲線に触れると座標を確認できます。

「下に凸」は∪の底が下、「上に凸」は∩の頂上が上、と形で覚えましょう。

1
$y=(x-2)^2-1$ は $a=1>0$ なので下に凸（上に開く）です。
$y=(x-2)^2-1$
2
頂点は $(2,-1)$ 、軸は $x=2$ です。頂点で最小値 $-1$ をとります。
$\text{頂点 }(2,-1),\quad \text{軸 }x=2,\quad \text{最小値 }-1$
3
$y=0$ とすると $(x-2)^2=1$ なので、x軸との共有点は $(1,0),(3,0)$ です。頂点を中心に左右対称になっています。
$y=0\Rightarrow(x-2)^2=1\Rightarrow x=1,3$

$y=-2(x+1)^2+3$ の頂点、軸、グラフの向きを答えましょう。

$y=-2(x+1)^2+3$

頂点のx座標

頂点のy座標

軸 x=□ の□

グラフの向き

∪ 下に凸（上に開く）

∩ 上に凸（下に開く）

前問の $y=-2(x+1)^2+3$ で、最後の定数だけを $3$ から $-2$ に変えます。軸 $x=-1$ は変わりません。新しい頂点を選んでください。

$y=-2(x+1)^2-2$

新しい頂点

$(-1,-2)$

$(1,-2)$

$(-1,2)$

仕上げ

確認問題に合格するとこの単元を完了します。

合格ラインを読み込み中