【大学入学共通テスト数学 I・A】【確率と図形の性質（方べきの定理、円周角の定理）】無料練習問題と詳しい解説

円と接線、そして確率

中心が $\mathrm{O}$ の円の外部の点 $\mathrm{P}$ から、この円に $2$ 本の接線 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ を引く。ただし、 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ は円上の接点である。線分 $\mathrm{AB}$ の長さを $l$ とする。

また、 $\mathrm{OP}$ の長さを $d$ とし、円の半径を $r$ とする。 $r=5$ とする。

問 1

図形の性質, 計算・式変形

接線 $\mathrm{PA}$ の長さ $\mathrm{PA}$ を、 $d$ を用いて表しなさい。

$\sqrt{d^2 - 5}$

$d - 5$

$\sqrt{d^2 - 25}$

$d$

問 2

図形の性質, 計算・式変形

線分 $\mathrm{AB}$ の長さ $l$ を $d$ を用いて表しなさい。

$\dfrac{10\sqrt{d^2 - 25}}{d}$

$\dfrac{5d}{\sqrt{d^2 - 25}}$

$\dfrac{5\sqrt{d^2 - 25}}{d}$

$\dfrac{10\sqrt{d^2 - 5}}{d}$

問 3

確率, 整数の性質

ここで、 $d$ は $6 \le d \le 10$ を満たす整数であるとする。 $l$ が整数となるような $d$ の値をすべて求めなさい。

$d=6, 8, 10$

$d=7, 8$

$d=8$

$d=10$

問 4

確率

前の問で求めた $d$ の値（ $d=10$ とする）とし、 $l = 5\sqrt{3}$ とする。点 $\mathrm{P}$ から円の中心 $\mathrm{O}$ まで移動する間に、円周上の点 $\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ まで線分 $\mathrm{AB}$ 上を移動する $2$ つの点 $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ を考える。

$\,\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ は $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ を含む線分 $\mathrm{AB}$ 上を独立に一様ランダムに動くものとする。線分 $\mathrm{XY}$ の長さ $k$ が $\mathrm{AB}$ の長さ $l$ の $\dfrac{1}{5}$ 以下になる確率を求めなさい。

$\dfrac{1}{25}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{9}{25}$

$\dfrac{16}{25}$