【大学入学共通テスト数学 II・B・C】【ベクトルと三角関数（内積の最小化）】無料練習問題と詳しい解説

ベクトルの内積と最小値

座標平面上に $3$ 点 $O(0, 0)$ ， $A(4, 0)$ ， $B(0, 3)$ がある． $t$ は $0 \le t \le \dfrac{\pi}{2}$ を満たす実数とする．

点 $P$ は，線分 $OA$ を $1:3$ に内分する点である．

点 $Q$ は，原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円周上の点であり，その位置ベクトル $\overrightarrow{O Q}$ は， $x$ 軸の正の向きとのなす角が $t$ であるとする．すなわち， $Q(\cos t, \sin t)$ である．

また，点 $R$ は $\overrightarrow{A R} = \overrightarrow{O Q}$ を満たす点とする．

問 1

ベクトル（成分表示と位置ベクトル）

点 $P$ の座標と， $\overrightarrow{O R}$ の成分表示の組合せとして正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．

$P(1, 0), quad \overrightarrow{O R} = (\cos t, \sin t)$

$P(1, 0), quad \overrightarrow{O R} = (4 + \cos t, \sin t)$

$P(3, 0), quad \overrightarrow{O R} = (3 + \cos t, \sin t)$

$P(1, 0), quad \overrightarrow{O R} = (4 - \cos t, -\sin t)$

問 2

ベクトル（成分表示と大きさ）

$\overrightarrow{P B}$ の大きさ $|\overrightarrow{P B}|$ として正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．

$3$

$4$

$\sqrt{10}$

$\sqrt{13}$

問 3

ベクトル（内積）と三角関数

内積 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P R}$ を $t$ を用いて表した式として正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．

$3\cos t - \sin t - 3$

$3\sin t + 4\cos t - 3$

$3\sin t - \cos t - 3$

$-4\cos t + 3\sin t - 1$