【大学入学共通テスト数学 II・B・C】【ベクトルと三角関数（点の軌跡と最大最小）】無料練習問題と詳しい解説

平面上の点の運動とベクトル

$xy$ 平面上に、原点 $\mathrm{O}(0, 0)$ と定点 $\mathrm{A}(4, 2)$ がある。

点 $\mathrm{P}$ は円 $C: x^2 + y^2 = 4$ 上を動く。
点 $\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{OA}$ 上を動く。

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グラフ

Alt: 原点 O を中心とする半径 2 の円 C（赤色）と、原点 O(0, 0) から点 A(4, 2) へ引かれたベクトル $\vec{a}$ （青色）を示す $xy$ 平面。

$\vec{p} = \vec{\mathrm{OP}}$ 、 $\vec{q} = \vec{\mathrm{OQ}}$ 、 $\vec{a} = \vec{\mathrm{OA}}$ とおく。
点 $\mathrm{P}$ の座標を $(2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ ( $0 \le \theta < 2\pi$ ) と表すことができる。
点 $\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{OA}$ 上にあるため、実数 $t$ ( $0 \le t \le 1$ ) を用いて $\vec{q} = t \vec{a} = (4t, 2t)$ と表すことができる。

さらに、点 $\mathrm{R}$ を $\vec{\mathrm{OR}} = \vec{p} + \vec{q}$ となるように定める。
このとき、 $\vec{\mathrm{OR}} = (2 \cos \theta + 4t, 2 \sin \theta + 2t)$ となる。

問 1

図形と方程式（点の軌跡）

$t = \dfrac{1}{2}$ として点 $\mathrm{Q}$ を固定する（このとき $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{OA}$ の中点 $(2, 1)$ である）。点 $\mathrm{P}$ が円 $C$ 上を一周するとき、点 $\mathrm{R}$ の軌跡はどのような図形になるか。

中心 $(2, 1)$ 、半径 $2$ の円

中心 $(2, 1)$ 、半径 $4$ の円

中心 $(4, 2)$ 、半径 $2$ の円

中心 $(0, 0)$ 、半径 $\sqrt{5}$ の円

原点を通る直線

問 2

ベクトル（大きさの最大値）

$t$ が $0 \le t \le 1$ の範囲を動き、点 $\mathrm{P}$ が円 $C$ 上を動くとき、点 $\mathrm{R}$ と原点 $\mathrm{O}$ との距離 $|\vec{\mathrm{OR}}|$ の最大値として正しいものを、次の A〜F から選べ。

問 3

ベクトルと三角関数（内積）

$t=1$ とする（ $\mathrm{Q} = \mathrm{A}$ ）。 $\vec{p} = (2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ と $\vec{a} = (4, 2)$ のなす角を $\alpha$ ( $0 \le \alpha \le pi$ ) とするとき、内積 $\vec{p} \cdot \vec{a}$ を $\theta$ を用いて表せ。また、 $\vec{\mathrm{AR}} = \vec{p}$ であることに注意して、 $|\vec{\mathrm{OR}}|^2$ を $\theta$ を用いて表した式として正しいものを、次の A〜F から選べ。

(1) $\vec{p} \cdot \vec{a} =$ [ ア ] (2) $|\vec{\mathrm{OR}}|^2 =$ [ イ ]

[ ア ] $8 \cos \theta + 4 \sin \theta$ , [ イ ] $24 + 8 \cos \theta + 4 \sin \theta$

[ ア ] $8 \cos \theta + 4 \sin \theta$ , [ イ ] $24 + 16 \cos \theta + 8 \sin \theta$

[ ア ] $8 \cos \theta + 4 \sin \theta$ , [ イ ] $20 + 8 \cos \theta + 4 \sin \theta$

[ ア ] $4 \cos \theta + 8 \sin \theta$ , [ イ ] $24 + 8 \cos \theta + 4 \sin \theta$

[ ア ] $4 \cos \theta + 8 \sin \theta$ , [ イ ] $24 + 4 \cos \theta + 8 \sin \theta$

[ ア ] $4 \cos \theta + 8 \sin \theta$ , [ イ ] $20 + 4 \cos \theta + 8 \sin \theta$

問 4

微分法（最大・最小）

小問3 の $f(\theta) = |\vec{\mathrm{OR}}|^2 = 24 + 16 \cos \theta + 8 \sin \theta$ ( $0 \le \theta < 2\pi$ ) について考える。 $f(\theta)$ の導関数 $f'(\theta) = 0$ となる $\theta$ ( $0 \le \theta < 2\pi$ ) は $\tan \theta =$ [ ウ ] を満たす。
$f(\theta)$ が最大値をとるときの $\cos \theta$ の値を [ エ ] とする。

[ ウ ] と [ エ ] の組み合わせとして正しいものを、次の A〜F から選べ。

[ ウ ] $\dfrac{1}{2}$ , [ エ ] $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

[ ウ ] $\dfrac{1}{2}$ , [ エ ] $-\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

[ ウ ] $\dfrac{1}{2}$ , [ エ ] $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

[ ウ ] $2$ , [ エ ] $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

[ ウ ] $-2$ , [ エ ] $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

[ ウ ] $-2$ , [ エ ] $-\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

問 5

確率分布（期待値）

$\theta$ を $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲の確率変数とみなし、 $\theta$ が $[0, 2\pi)$ 上の一様分布に従うとする（確率密度関数 $p(\theta) = \dfrac{1}{2\pi}$ ）。
このとき、小問3 で求めた $t=1$ の場合の $f(\theta) = |\vec{\mathrm{OR}}|^2 = 24 + 16 \cos \theta + 8 \sin \theta$ の期待値 $E[f(\theta)]$ を求めよ。
期待値 $E[f(\theta)]$ は $E[f(\theta)] = \int_{0}^{2\pi} f(\theta) p(\theta) d\theta$ で計算できる。

$E[f(\theta)]$ の値を整数で答えよ。

解答:

ヒント: 整数で答えよ