【大学入学共通テスト数学 II・B・C】【微分法と積分法（接線と面積）】無料練習問題と詳しい解説

曲線外の点を通る接線

曲線 $C: y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ がある．点 $P(a, f(a))$ における曲線 $C$ の接線を $L$ とする．

接線 $L$ が原点 $O(0, 0)$ を通るような定数 $a$ の値を求める．

問 1

微分の計算

曲線 $C$ 上の点 $P(a, f(a))$ における接線 $L$ の方程式を求めよ．正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．

$y = (3a^2 - 6a)x - 2a^3 + 3a^2 + 4$

$y = (3a^2 - 6a)x + a^3 - 3a^2 + 4$

$y = (3a^2 - 6a)(x - a) + 4$

$y = (a^3 - 3a^2 + 4)x + a$

問 2

微分の応用

接線 $L$ が原点 $O(0, 0)$ を通るような定数 $a$ の値を全て求めよ．正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．

$a=-1$

$a=2$

$a=0, 1$

$a=0, 2$

問 3

微分の応用

小問2で求めた $a$ の値 $a=2$ の場合を考える．このときの接線 $L$ の方程式を $y = g(x)$ とするとき， $g(x)$ を表す式を求めよ．

解答:

ヒント: 数値で答えよ、負号可、小数第0位ちょうど

問 4

積分法の応用

曲線 $C$ と，小問3で求めた接線 $L$ （ $y=0$ ）で囲まれた部分の面積 $S$ の値を求めよ．

$\frac{16}{3}$

$\frac{18}{4}$

$\frac{19}{4}$

$\frac{27}{4}$