未開始約13分

導関数からグラフと面積を復元

導関数の零点・符号・積分を組み合わせ、原関数の概形と曲線間の面積を復元します。

この教材でできるようになること

導関数のグラフから原関数の増減を復元できる
差の符号を確認して面積を積分できる

1

導関数の高さではなく符号を見る

$f'(x)$ がx軸より上なら $f$ は増加、下なら減少します。零点では、符号が変わるかまで確認します。

$\text{面積}=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$

2

例題：導関数から増減区間

1
$f'(x)=(x-1)(x-3)$ の零点は1と3です。
$x=1,3$
2
符号は $+,-,+$ なので、中央だけ減少します。
$(-\infty,1):\nearrow,\ (1,3):\searrow,\ (3,\infty):\nearrow$

3

面積の被積分関数

区間 $[0,2]$ で常に $[0,2]$ のとき面積を表す式を選んでください。

面積

$\int_0^2(f-g)dx$

$\int_0^2(g-f)dx$

$\int_0^2(f+g)dx$

4

接する零点へ広げる

$f''(x)$ が $x=2$ でx軸に接し、前後とも正なら、 $f$ の増減はどうなりますか。

増減

前後とも増加

x=2で極大

x=2で極小

5

まとめ

導関数の符号から原関数を復元
零点の前後で符号変化を確認
面積は上下差を積分

仕上げ

確認問題

確認問題に合格するとこの単元を完了します。

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