【大学入学共通テスト数学 II・B・C】【積分法と数列（面積と極限）】無料練習問題と詳しい解説

放物線と直線で囲まれる面積と数列の極限

$xy$ 平面上の放物線 $C: y = x^2$ と、点 $\mathrm{A}(0, 1)$ を通る傾き $a$ の直線 $l$ を考える。
直線 $l$ の方程式は $y = ax + 1$ である。

$C$ と $l$ が異なる2つの交点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ を持つとする。このとき、 $x$ の方程式 $x^2 = ax + 1$ 、すなわち $x^2 - ax - 1 = 0$ は異なる2つの実数解を持つ。この2つの解を $\alpha, \beta$ ( $\alpha < \beta$ ) とすると、これが $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ の $x$ 座標となる。

問 1

複素数と方程式（解と係数の関係）

方程式 $x^2 - ax - 1 = 0$ が異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ を持つための $a$ の条件は、判別式 $D > 0$ より $D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = a^2 + 4$ であるから、すべての実数 $a$ について満たされる。
解と係数の関係より、 $\alpha + \beta =$ [ ア ]、 $\alpha \beta =$ [ イ ] が成り立つ。
また、 $(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ を利用すると、 $(\beta - \alpha)^2 =$ [ ウ ] となる。
$\alpha < \beta$ より $\beta - \alpha > 0$ であるから、 $\beta - \alpha =$ [ エ ] である。

[ ア ]、[ イ ]、[ ウ ]、[ エ ] の組み合わせとして正しいものを、次の A〜D から選べ。

[ ア ] $a$ , [ イ ] $-1$ , [ ウ ] $a^2 + 4$ , [ エ ] $\sqrt{a^2 + 4}$

[ ア ] $a$ , [ イ ] $1$ , [ ウ ] $a^2 - 4$ , [ エ ] $\sqrt{a^2 - 4}$

[ ア ] $-a$ , [ イ ] $-1$ , [ ウ ] $a^2 + 4$ , [ エ ] $\sqrt{a^2 + 4}$

[ ア ] $a$ , [ イ ] $-1$ , [ ウ ] $a^2 - 4$ , [ エ ] $\sqrt{a^2 - 4}$

問 2

積分法（面積）

放物線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた部分の面積 $S(a)$ を $a$ の式で表せ。
$C$ と $l$ の交点の $x$ 座標は $\alpha, \beta$ であり、区間 $[\alpha, \beta]$ において $ax + 1 \ge x^2$ であるから、面積 $S(a)$ は次の積分で計算できる。 $S(a) = \int_{\alpha}^{\beta} \{ (ax + 1) - x^2 \} dx = -\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx$

$S(a) = \dfrac{1}{6} (a^2 + 4)$

$S(a) = \dfrac{1}{6} (a^2 + 4)^{\frac{3}{2}}$

$S(a) = \dfrac{1}{3} (a^2 + 4)^{\frac{1}{2}}$

$S(a) = \dfrac{1}{6} (a^2 - 4)^{\frac{3}{2}}$

問 3

数列（漸化式と一般項）

ここで、傾き $a$ を数列 ${a_n}$ ( $n=1, 2, 3, dots$ ) で考える。
$a_1 = 1$ であり、漸化式 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{a_n + 1}$ によって定まるものとする。
$a_n > 0$ のとき $a_{n+1} > 0$ であり、 $a_1 = 1 > 0$ なので、すべての $n$ について $a_n > 0$ である。
$b_n = \dfrac{1}{a_n}$ とおくと、 ${b_n}$ は初項 $b_1 =$ [ オ ]、公差 $d =$ [ カ ] の等差数列となる。
よって、数列 ${a_n}$ の一般項は $a_n =$ [ キ ] である。

[ オ ]、[ カ ]、[ キ ] の組み合わせとして正しいものを、次の A〜F から選べ。

[ オ ] $1$ , [ カ ] $1$ , [ キ ] $\dfrac{1}{n}$

[ オ ] $1$ , [ カ ] $1$ , [ キ ] $\dfrac{1}{n+1}$

[ オ ] $1$ , [ カ ] $-1$ , [ キ ] $\dfrac{1}{2-n}$

[ オ ] $1$ , [ カ ] $a_n$ , [ キ ] $n$

[ オ ] $1$ , [ カ ] $2$ , [ キ ] $\dfrac{1}{2n-1}$

[ オ ] $1$ , [ カ ] $\dfrac{1}{2}$ , [ キ ] $\dfrac{2}{n+1}$

問 4

数列（極限）

数列 ${a_n}$ を小問3で定めたものとし、対応する面積を $S_n = S(a_n)$ とおく。
小問2の結果 $S(a) = \dfrac{1}{6} (a^2 + 4)^{\frac{3}{2}}$ と、小問3の結果 $a_n = \dfrac{1}{n}$ を用いて、極限値 $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

答えは $\dfrac{A}{B}$ の形の既約分数となる。 $A$ の値を答えよ。

解答:

ヒント: 整数で答えよ

問 5

確率分布（期待値）

シナリオに戻り、傾き $a$ が $0 \le a \le 3$ の範囲の確率変数 $A$ であり、 $A$ がこの区間の一様分布に従うものとする。このとき、確率密度関数は $f(a) = \dfrac{1}{3}$ ( $0 \le a \le 3$ ) である。
面積 $S(A) = \dfrac{1}{6} (A^2 + 4)^{\frac{3}{2}}$ の期待値 $E[S(A)]$ を求めたい。 $E[S(A)] = \int_{0}^{3} S(a) f(a) da = \int_{0}^{3} \dfrac{1}{6} (a^2 + 4)^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{1}{3} da = \dfrac{1}{18} \int_{0}^{3} (a^2 + 4)^{\frac{3}{2}} da$
この積分は $a = 2 \tan \theta$ と置換することで計算できるが、複雑である。

代わりに、関数 $g(a) = a^2 + 4$ について考える。 $0 \le a \le 3$ において $g(a)$ の最小値は [ ク ]、最大値は [ ケ ] である。
イェンゼンの不等式により、凸関数 $h(x) = x^{\frac{3}{2}}$ について $E[h(g(A))] \ge h(E[g(A)])$ が成り立つ。
$E[g(A)] = E[A^2 + 4] = E[A^2] + 4$ を計算する。
$E[A^2] = \int_{0}^{3} a^2 f(a) da = \int_{0}^{3} a^2 \cdot \dfrac{1}{3} da =$ [ コ ] である。

[ コ ] の値を整数で答えよ。

解答:

ヒント: 整数で答えよ