【大学入学共通テスト数学 II・B・C】【複素数平面と数列（極形式の変換と漸化式）】無料練習問題と詳しい解説

複素数と漸化式

複素数平面上の点 $z_0$ と，次の漸化式で定められる数列 ${z_n}$ を考える．

$z_{n+1} = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) z_n \quad (n=0, 1, 2, \dots)$

ただし， $i$ は虚数単位とする．

また，数列 ${w_n}$ は， $w_n = z_n^3$ で定められるとする．

問 1

複素数（極形式）と計算・式変形

複素数 $\alpha = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表したとき， $r$ の値と，偏角 $\theta$ の主値（ $0 \le \theta < 2\pi$ ）として正しい組合せを，次のA～Fの中から一つ選べ．

$r=1, \quad \theta = \dfrac{\pi}{6}$

$r=1, \quad \theta = \dfrac{\pi}{3}$

$r=1, \quad \theta = \dfrac{2\pi}{3}$

$r=\sqrt{3}, \quad \theta = \dfrac{\pi}{6}$

$r=\sqrt{3}, \quad \theta = \dfrac{\pi}{3}$

$r=2, \quad \theta = \dfrac{\pi}{3}$

問 2

数列（一般項・漸化式）

初項を $z_0=1+i$ とするとき， $z_6$ の値として正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．

$1+i$

$1-i$

$-1+i$

$-1-i$

問 3

複素数平面（図形）と数列

初項を $z_0 = 2$ とするとき，数列 ${z_n}$ が複素数平面上で表す点 $P_n$ は，ある図形 $F$ の周上にある．図形 $F$ を示している記述として正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．

グラフを読み込み中…

グラフ

Alt: 複素数平面上に描かれた，原点を中心とする半径 $2$ の円周上に位置する点 $z_0, z_1, \dots, z_6$ （ただし $z_0=2$ ）

中心が点 $1$ で，半径が $2$ の円周

中心が原点 $0$ で，半径が $2$ の円周

中心が原点 $0$ で，半径が $\sqrt{3}$ の円周

原点 $0$ と点 $2$ を結ぶ線分

問 4

数列（漸化式）と複数表現統合

数列 ${w_n}$ は $w_n = z_n^3$ で定められる．

$w_n$ を表す漸化式として正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．

$w_{n+1} = \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) w_n$

$w_{n+1} = w_n + \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3$

$w_{n+1} = w_n$

$w_{n+1} = -w_n$

問 5

ベクトル（内積と距離）と推論

数列 ${z_n}$ を複素数平面上の点 $P_n$ が表すとする（ $n=0, 1, 2, \dots$ ）．

$z_0$ は $|z_0| = 1$ を満たす任意の複素数とする．

$\overrightarrow{O P_n}$ を点 $P_n$ の位置ベクトルとする（ $O$ は原点）．

$P_n$ の実軸への正射影を $Q_n$ とするとき，内積 $\overrightarrow{O P_n} \cdot \overrightarrow{O Q_n}$ の最大値を与える $n$ のうち，最小のものを求めよ．ただし， $z_0 = 1$ の場合とする．

解答:

ヒント: 整数で答えよ、小数第0位ちょうど