未開始約13分

複素数変換と軌跡

円上のzを動かし、w=z+1/zが直線や楕円を描く仕組みを実部・虚部から導きます。

この教材でできるようになること

  • 共役と逆数の関係を使える

  • 複素数変換後の軌跡を媒介変数で求められる

1

zを極形式で動かしてwを観察する

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ),1z=1r(cos⁡θ−isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta),\quad \frac1z=\frac1r(\cos\theta-i\sin\theta)

実部と虚部を分けると、w=z+1/zw=z+1/z の軌跡が見えます。r=1r=1 では虚部が常に0となり、実軸上の線分になります。

2

例題：単位円から線分

  1. 1

    ∣z∣=1|z|=1 なら 1/z=zˉ1/z=\bar z です。

    1z=zˉ\frac1z=\bar z

  2. 2

    w=z+zˉ=2Re⁡zw=z+\bar z=2\operatorname{Re}z なので実数で、範囲は線分です。

    −2≤w≤2-2\le w\le2

3

単位円での変換

∣z∣=1|z|=1 のとき z+1/zz+1/z の虚部を選んでください。

虚部
4

半径を変える

∣z∣=r≠1|z|=r\ne1 のとき w=z+1/zw=z+1/z の軌跡として適切なものを選んでください。

軌跡
5

まとめ

  • 逆数は絶対値の逆数・偏角の符号反転

  • 実部と虚部を媒介表示

  • 観察後に媒介変数を消去して軌跡を証明

仕上げ

確認問題

確認問題に合格するとこの単元を完了します。

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