未開始約11分

極形式と回転・累乗

複素数の積・商を、絶対値の伸縮と偏角の回転として図形的に理解します。

この教材でできるようになること

複素数を極形式で表せる
積と累乗を絶対値・偏角の変化として説明できる

1

掛け算は拡大と回転

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\Rightarrow z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$

積では絶対値を掛け、偏角を足します。代数計算と図形操作を同時に確認すると、符号ミスに気づきやすくなります。

2

例題：3乗する

1
$z=2(\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6)$ を3乗します。
$z^3=2^3(\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2)$
2
絶対値は8、偏角は $\pi/2$ です。
$z^3=8i$

3

積の偏角

偏角 $\pi/3$ と $\pi/4$ の複素数を掛けたときの偏角を選んでください。

偏角

$\pi/4$

$\pi/12$

$\pi/2$

4

商へ広げる

偏角 $\pi/3$ の複素数を偏角 $\pi/6$ の複素数で割るときの偏角を選んでください。

偏角

$\pi/6$

$\pi/2$

$-\pi/6$

5

まとめ

積は絶対値を掛け偏角を足す
商は絶対値を割り偏角を引く
累乗はド・モアブルの定理

仕上げ

確認問題

確認問題に合格するとこの単元を完了します。

合格ラインを読み込み中

単元一覧に戻る数学Ⅱ・B・Cの演習問題一覧を見る