【大学入学共通テスト数学 II・B・C】【複素数平面（図形と回転）】無料練習問題と詳しい解説

複素数平面上の三角形

複素数平面上に， $3$ 点 $O(0)$ ， $A(1+\sqrt{3}i)$ ， $B(z)$ がある． $O, A, B$ を頂点とする三角形 $OAB$ は正三角形であるとする．

ただし， $z$ の偏角 $\arg(z)$ は $0 \le \arg(z) < 2\pi$ の範囲にあるとする．

問 1

複素数の極形式

点 $A(1+\sqrt{3}i)$ を表す複素数 $1+\sqrt{3}i$ の極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ における $r$ と $\theta$ の値の組合せとして正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．ただし， $0 \le \theta < 2\pi$ とする．

$r=2, \quad \theta = \dfrac{\pi}{6}$

$r=2, \quad \theta = \dfrac{\pi}{3}$

$r=4, \quad \theta = \dfrac{\pi}{6}$

$r=4, \quad \theta = \dfrac{\pi}{3}$

問 2

複素数と図形の性質

三角形 $OAB$ が正三角形であるとき，点 $B(z)$ を表す複素数 $z$ として考えられる値を全て求めよ．正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．

$1 - \sqrt{3}i, \quad -2$

$1 - \sqrt{3}i, \quad -1 + \sqrt{3}i$

$2, \quad -1 + \sqrt{3}i$

$2i, \quad -2i$

問 3

複素数の計算

$w = 1 + \frac{1}{z_1}$ となる複素数 $w$ を考える．ここで $z_1 = -1 + \sqrt{3}i$ とする． $w$ の値として正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．

$\dfrac{3}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}i$

$\dfrac{5}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i$

$-\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i$

$1 - \dfrac{\sqrt{3}}{4}i$