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図形の性質（メネラウスの定理とチェバの定理）

数学 I・A

図形の性質（メネラウスの定理とチェバの定理）

図形の性質メネラウスの定理チェバの定理

普通

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方べき・チェバ・メネラウス

図形の性質（三角形と比）

$\triangle ABC$ がある。辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $D$ 、辺 $AC$ を $3:2$ に内分する点を $E$ とする。線分 $AD$ と線分 $BE$ の交点を $O$ とし、直線 $CO$ と辺 $AB$ の交点を $F$ とする。

グラフを読み込み中…

グラフ

Alt: $\triangle ABC$ とその内部の点。辺 $BC$ 上に点 $D$ 、辺 $AC$ 上に点 $E$ がある。線分 $AD$ と $BE$ が点 $O$ で交わり、直線 $CO$ が辺 $AB$ と点 $F$ で交わっている。

問 1

図形の性質

チェバの定理により $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$ が成り立つ。 $BD:DC = 2:1$ , $CE:EA = 3:2$ であるから、比 $\frac{AF}{FB}$ の値として正しいものを、次の A〜F から一つ選べ。

A

$\frac{1}{4}$

B

$\frac{1}{3}$

C

$\frac{2}{3}$

D

$\frac{3}{4}$

E

$1$

F

$\frac{3}{2}$

問 2

図形の性質

次に、 $\triangle ADC$ と直線 $BE$ (B, O, E) にメネラウスの定理を適用すると、 $\frac{CB}{BD} \cdot \frac{DO}{OA} \cdot \frac{AE}{EC} = 1$ が成り立つ。この式を用いて、比 $\frac{AO}{OD}$ の値として正しいものを、次の A〜D から一つ選べ。

A

$\frac{1}{2}$

B

$1$

C

$\frac{3}{2}$

D

$2$

問 3

図形の性質

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とおく。 $\triangle OBC$ の面積を $S$ を用いて表したものとして正しいものを、次の A〜E から一つ選べ。

A

$\frac{1}{6} S$

B

$\frac{1}{5} S$

C

$\frac{1}{3} S$

D

$\frac{2}{5} S$

E

$\frac{1}{2} S$

問 4

図形の性質

$\triangle ABC$ の面積 $S$ が $120$ のとき、 $\triangle OAF$ の面積を求めよ。

解答:

ヒント: 整数で答えよ