図形の性質（正四面体と中点）

数学Ⅰ・A図形の性質正四面体

難しい

正四面体の中の線分

一辺の長さが $6$ の正四面体 $ABCD$ を考える。辺 $BC$ の中点を $M$ 、辺 $AD$ の中点を $N$ とする。

正三角形 $ABC$ と $DBC$ に着目すると、 $AM$ と $DM$ の長さを平面図形の性質から求めることができる。さらに三角形 $AMD$ を考えて、向かい合う辺の中点を結ぶ線分 $MN$ を調べる。

問 1

正三角形の高さ

線分 $AM$ の長さを選べ。

$3$

$3\sqrt2$

$6$

$2\sqrt3$

$3\sqrt3$

問 2

特定平面内の中線

線分 $MN$ の長さを選べ。

$\sqrt6$

$2\sqrt3$

$3\sqrt2$

$3\sqrt3$

問 3

相似拡大と体積比

一辺の長さを $6$ から $8$ に変更した正四面体を考える。変更後の正四面体の体積を $V_8$ 、もとの体積を $V_6$ とするとき、比 $\dfrac{V_8}{V_6}$ を選べ。

$\dfrac43$

$\dfrac{64}{27}$

$\dfrac{16}{9}$

$\dfrac83$

次に解く問題

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01図形の性質（円の接線と接点弦）数学 I・A
02空間図形（正四角錐の高さと体積）数学 I・A
03図形と計量（三角形の辺と外接円）数学 I・A
04図形と計量（湖畔からの距離測定）数学 I・A

正四面体の中の線分

一辺の長さが $6$ の正四面体 $ABCD$ を考える。辺 $BC$ の中点を $M$ 、辺 $AD$ の中点を $N$ とする。

問 1

正三角形の高さ

線分 $AM$ の長さを選べ。

$3$

$3\sqrt2$

$6$

$2\sqrt3$

$3\sqrt3$

問 2

特定平面内の中線

線分 $MN$ の長さを選べ。

$\sqrt6$

$2\sqrt3$

$3\sqrt2$

$3\sqrt3$

問 3

相似拡大と体積比

$\dfrac43$

$\dfrac{64}{27}$

$\dfrac{16}{9}$

$\dfrac83$