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空間図形と体積比

立体の中から必要な平面図形を取り出し、相似比・面積比・高さの比から体積を比較します。

この教材でできるようになること

空間図形では、すべての辺を一度に追うと混乱しやすくなります。求めたい長さや角を含む 一直線上にない3点で決まる平面 を探し、その平面上の三角形として考えます。

下の三角錐 $PABC$ では、側辺上の3点 $D,E,F$ を通り、底面 $ABC$ に平行な断面に注目しています。

グラフを読み込み中…

三角錐PABCの底面頂点A、B、Cを外側に表示し、側辺PA上のD、PB上のE、PC上のFを通る断面をオレンジ色で示した立体図。

$V=\frac13Sh$

1
2つの三角錐が同じ高さをもち、底面積が $12$ と $20$ であるとします。
$V_1:V_2=\frac13\cdot12\cdot h:\frac13\cdot20\cdot h$
2
共通する $\frac13$ と高さ $h$ を消すと、体積比は底面積の比だけになります。
$V_1:V_2=12:20=3:5$
3
今度は底面が同じで高さだけが $2:3$ に変わったなら、体積比も $2:3$ です。何が共通で何が変わったかを見ます。

三角錐 $PABC$ を、底面 $ABC$ に平行な平面 $DEF$ で切り、 $D,E,F$ をそれぞれ辺 $PA,PB,PC$ 上に取ります。このとき、頂点側の三角錐 $PDEF$ は元の三角錐 $PABC$ と相似です。

$\text{平面 }DEF\parallel\text{平面 }ABC,\qquad PD:PA=PE:PB=PF:PC=1:3$

3組の対応する辺の比がすべて $1:3$ なので、面積比は2乗、体積比は3乗にします。

$\text{面積比}=\left(\frac13\right)^2=\frac19,\qquad \text{体積比}=\left(\frac13\right)^3=\frac1{27}$

断面より下側の切頭三角錐（プリン型）を求めるときは、全体から頂点側の小さい三角錐を引きます。この例では、小さい三角錐が全体の $\frac1{27}$ なので、下側は次の割合です。

$\frac{\text{下側の立体の体積}}{\text{全体の体積}}=1-\frac1{27}=\frac{26}{27}$

三角錐を底面に平行な平面で切りました。頂点から断面までの長さは、頂点から底面までの長さの $\frac12$ です。頂点側の小さい三角錐と元の三角錐の体積比を選んでください。

$\text{小さい三角錐}:\text{元の三角錐}=\square:\square$

小さい三角錐：元の三角錐

$1:2$

$1:4$

$1:6$

$1:8$

前問で、頂点側の小さい三角錐は全体の $\frac18$ と求めました。求める対象だけを断面より下側へ変えます。全体から小さい三角錐を引いて答えてください。

$1-\frac18$

下側の立体：全体

$1:8$

$7:8$

$3:4$

仕上げ

確認問題に合格するとこの単元を完了します。

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