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集合・ベン図・ド・モルガンの法則

集合の記号をベン図と具体的な要素へ結び付け、共通部分・和集合・補集合を正しく読み取ります。

この教材でできるようになること

集合は、共通する条件を満たすものをひとまとめにしたものです。全体集合 $U$ の中に集合 $A,B$ があるとき、重なった部分が 共通部分 $A\cap B$ 、2つの円を合わせた部分が 和集合 $A\cup B$ です。

グラフを読み込み中…

全体集合Uの中で、AとBの重なりである共通部分、2つの円全体である和集合、Aの円の外側である補集合を3つの図で比較している。

1
40人のうち、英語が得意な人が24人、数学が得意な人が18人、両方が得意な人が10人います。まず、両方の10人を中央へ置いてから「英語だけ」「数学だけ」を求めます。

グラフを読み込み中…
40人を、英語だけ14人、英語と数学の両方10人、数学だけ8人、どちらも得意でない8人の4領域に分けたベン図。
2
$24+18$ では両方が得意な10人を2回数えているので、重なりを1回引きます。
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
3
少なくとも一方が得意な人は32人です。
$24+18-10=32$
4
どちらも得意でない人は、全体40人から和集合の32人を引いて8人です。
$40-32=8$

$\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B,\qquad \overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B$

元の条件	その否定
$A$ または $B$ に入る	$A$ にも $B$ にも入らない
$A$ と $B$ の両方に入る	$A$ または $B$ の少なくとも一方に入らない

全体集合を $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ 、 $A$ を偶数の集合、 $B$ を3の倍数の集合とします。該当する集合を選んでください。

$U=\{1,2,\ldots,10\},\qquad A\cap B=?\qquad \overline{A\cup B}=?$

前問の全体集合 $U=\{1,2,\ldots,10\}$ と偶数の集合 $A$ はそのままに、 $B$ だけを「5の倍数」に変えます。新しい $A\cap B$ を選んでください。

$A=\{2,4,6,8,10\},\qquad B=\{5,10\}$

A\cap B

$\{5\}$

$\{10\}$

$\{5,10\}$

$\varnothing$

仕上げ

確認問題に合格するとこの単元を完了します。

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