未開始約12分

命題・必要十分条件・対偶

命題を矢印と集合の包含関係で整理し、反例・必要十分条件・対偶を使って真偽を判断します。

この教材でできるようになること

命題の真偽を判断し、偽なら反例を1つ示せる
$p\Rightarrow q$ から必要条件と十分条件を正しく読み取れる
逆・裏・対偶を区別し、元の命題と対偶が同値であることを使える

命題が偽なら、反例は1つで十分

命題とは、正しいか正しくないかを判断できる文です。「すべての実数 $x$ について、 $x^2\ge0$ 」は真ですが、「 $x^2=4$ ならば $x=2$ 」は $x=-2$ で成り立たないため偽です。

「すべての場合に成り立つ」という命題を偽にするには、成り立たない具体例を 1つ見つければ十分です。この例を反例といいます。

矢印の出発側が十分、到着側が必要

$p\Rightarrow q$

見方	読み取り
$p$ から $q$ が必ず出る	$p$ は $q$ であるための十分条件
$p$ が成り立つには $q$ が欠かせない	$q$ は $p$ であるための必要条件
$p\Rightarrow q$ かつ $q\Rightarrow p$	$p$ は $q$ であるための必要十分条件

$p$ を満たすものの集合が、 $q$ を満たすものの集合の内側に入っていれば $p\Rightarrow q$ です。

グラフを読み込み中…

条件qを満たす大きな円の中に条件pを満たす小さな円が入り、pならばqが成り立つ包含関係を示す図。

主語を $p$ としたときは、2つの矢印の真偽を次の4パターンへ整理すると迷いません。

$p\Rightarrow q$	$q\Rightarrow p$	$p$ は $q$ であるための条件
真	真	必要十分条件（ $p\Leftrightarrow q$ ）
真	偽	十分条件だが必要条件ではない
偽	真	必要条件だが十分条件ではない
偽	偽	必要条件でも十分条件でもない

元の命題と必ず同じ真偽になるのは対偶

名前	命題	元の命題との関係
元の命題	$p\Rightarrow q$	基準
逆	$q\Rightarrow p$	同じ真偽とは限らない
裏	$\overline p\Rightarrow\overline q$	同じ真偽とは限らない
対偶	$\overline q\Rightarrow\overline p$	元の命題と必ず同値

対偶を作るときは、条件を漏れなく否定します。特に不等号は、向きを変えるだけでなく等号の有無も変わります。

条件	その否定
$x=a$	$x\ne a$
$x>a$	$x\le a$
$x\ge a$	$x<a$
$x\in A$	$x\notin A$

反例と対偶で矢印を確かめる

1
実数 $x$ について、 $p:x>2$ 、 $q:x^2>4$ とします。
$x>2\Rightarrow x^2>4$
2
$x>2$ なら両辺が正なので2乗しても $x^2>4$ となり、元の命題は真です。
3
逆の $x^2>4\Rightarrow x>2$ は、 $x=-3$ が反例なので偽です。
$(-3)^2=9>4,\qquad -3\not>2$
4
対偶 $x^2\le4\Rightarrow x\le2$ は元の命題と同値です。直接示しにくい命題は、対偶へ言い換えると見通しがよくなります。

必要条件と十分条件を矢印から読む

実数 $x$ について、条件 $p$ を「 $x=3$ 」、条件 $q$ を「 $x^2=9$ 」とします。次の条件の関係を選んでください。

$p:x=3,\qquad q:x^2=9$

p

は

q

であるための条件

必要条件だが十分条件ではない

十分条件だが必要条件ではない

必要十分条件

必要条件でも十分条件でもない

q

は

p

であるための条件

必要条件だが十分条件ではない

十分条件だが必要条件ではない

必要十分条件

必要条件でも十分条件でもない

条件を1つ変えて、前の矢印を再利用する

前問の $p:x=3$ はそのままに、 $q$ だけを $x^2=9$ から $x=3$ に変えます。今度は $p\Rightarrow q$ と $q\Rightarrow p$ の両方が成り立ちます。 $p$ と $q$ の関係を選んでください。

$p:x=3,\qquad q:x=3$

pはqであるための条件

必要条件だが十分条件ではない

十分条件だが必要条件ではない

必要十分条件

必要条件でも十分条件でもない

命題と条件の振り返り

すべての場合に成り立つ命題は、反例が1つ見つかれば偽になる
$p\Rightarrow q$ では、 $p$ が十分条件、 $q$ が必要条件
逆 $q\Rightarrow p$ は元の命題と同じ真偽とは限らない
対偶 $\overline q\Rightarrow\overline p$ は元の命題と必ず同値
不等式を否定するときは、向きを反対にして等号の有無も変える

仕上げ

確認問題

確認問題に合格するとこの単元を完了します。

合格ラインを読み込み中

単元一覧に戻る数学I・Aの演習問題一覧を見る