【大学入学共通テスト数学 II・B・C】【微分法とベクトル（接線の傾き）】無料練習問題と詳しい解説

放物線上の点と接線のベクトル表示

放物線 $C: y = x^2 - 2x + 1$ 上の点 $A(1, 0)$ をとる。点 $P(t, t^2 - 2t + 1)$ を $C$ 上の任意の点とする。点 $P$ における $C$ の接線を $l$ とする。点 $A$ と接線 $l$ の関係を考える。

グラフを読み込み中…

グラフ

Alt: 放物線 $y=x^2-2x+1$ のグラフに点 $A(1,0)$ と点 $P(t,t^2-2t+1)$ が示されている。

問 1

関数とグラフ

点 $P(t, t^2 - 2t + 1)$ における接線 $\ell$ の傾きを $t$ を用いた式で表したものを，次のA～Dの中から一つ選べ。

$2t^2 - 2$

$t - 1$

$2t - 2$

$t^2 - 2t + 1$

問 2

図形と方程式

接線 $l$ の方程式を $t$ を用いて表すと、次のうち正しいものはどれか。

$y = (2t - 2)(x - t) + (t^2 - 2t + 1)$

$y = (2t - 2)x + (t^2 - 2t + 1)$

$y = (t^2 - 2t + 1)(x - t)$

$y = (2x - 2)(t - 1)$

問 3

ベクトル

点 $A(1,0)$ から接線 $l$ に下ろした垂線の足を $Q$ とする。ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ の方向は接線 $l$ に対してどのような関係にあるか。

平行である

垂直である

一致する

45°の角をなす

問 4

微分法の応用

接線 $\ell$ が点 $A(1,0)$ を通るような $t$ の値をすべて求めよ．

$t = 1$

$t = 0, \ 1$

$t = 1, \ 2$

$t = 0, \ 2$

問 5

統合的判断（グラフと式）

接線 $l$ が点 $A$ を通るとき、放物線 $C$ と接線 $l$ は $x$ 軸上で交わる。このとき交点の $x$ 座標を正しい順に並べたものはどれか。

(手順)

A: $t=0$ のときの接線と $x$ 軸の交点を求める。

B: $t=2$ のときの接線と $x$ 軸の交点を求める。

C: それぞれの $x$ 座標を大小比較する。