微分積分と数列（指数三角関数と無限級数）

$x > 0$ において、関数 $f(x)$ が最初に極値をとる $x$ の値を $x_1$ とする。$x_1$ の値 [ ア ] と、その点における $f(x)$ の値 $f(x_1)$ [ イ ] の組み合わせとして正しいものを、次の A〜F から選べ。

（必要なら $\sin(\dfrac{\pi}{4}) = \cos(\dfrac{\pi}{4}) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ を用いよ）

曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めるために、不定積分 $I = \int e^{-x} \sin x dx$ と $J = \int e^{-x} \cos x dx$ を考える。
$I = \int e^{-x} \sin x dx = -e^{-x} \sin x - \int (-e^{-x}) \cos x dx = -e^{-x} \sin x + J$
同様に $J$ を部分積分すると $J =$ [ ウ ] となる。
これらを連立して $I$ について解くと、$I =$ [ エ ] となる。

[ ウ ] と [ エ ] の組み合わせとして正しいものを、次の A〜D から選べ。

小問2の結果を用いて、曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた $0 \le x \le \pi$ の部分の面積 $S_1$ を求めよ。

$S_1 = \int_{0}^{\pi} f(x) dx = \int_{0}^{\pi} e^{-x} \sin x dx$

$S_1$ の値を、次の A〜D から選べ。

自然数 $n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) に対して、区間 $(n-1)\pi \le x \le n\pi$ において曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を $S_n$ とする。 $S_n = \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} |e^{-x} \sin x| dx = \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} e^{-x} |\sin x| dx$
$x = t + (n-1)\pi$ と置換すると、$dx = dt$ であり、$x$ が $(n-1)\pi$ から $n\pi$ まで動くとき $t$ は $0$ から $\pi$ まで動く。
$S_n = \int_{0}^{\pi} e^{-(t+(n-1)\pi)} |\sin(t+(n-1)\pi)| dt$
$|\sin(t+(n-1)\pi)| = \sin t$ ($0 \le t \le \pi$) であるから、
$S_n = \int_{0}^{\pi} e^{-t} e^{-(n-1)\pi} \sin t dt = e^{-(n-1)\pi} \int_{0}^{\pi} e^{-t} \sin t dt = e^{-(n-1)\pi} S_1$

数列 ${S_n}$ は初項 $S_1$、公比 $r$ の等比数列である。公比 $r$ の値を答えよ。