確率分布とベクトル（期待値と内分）

$k=2$ のとき（偶数）の点 $\mathrm{P}$ の座標 [ ア ] と、$k=3$ のとき（奇数）の点 $\mathrm{P}$ の座標 [ イ ] の組み合わせとして正しいものを、次の A〜D から選べ。

$k$ の値（$k=1, \dots, 6$）によらず、点 $\mathrm{P}$ の位置 $\vec{p}$ は $\vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b}$ ($s \ge 0, t \ge 0, s+t=1$) の形をしているため、点 $\mathrm{P}$ は常に線分 $\mathrm{AB}$ 上にある。

以下の命題 A, B, C の正誤を判定せよ。

• 命題 A: $k$ の値によらず、点 $\mathrm{P}$ は直線 $x+y=6$ 上にある。
• 命題 B: $k=1$ のときの点 $\mathrm{P}$ と $k=5$ のときの点 $\mathrm{P}$ は、点 $(3, 3)$ に関して対称である。
• 命題 C: $k=2$ のときの点 $\mathrm{P}$ と $k=4$ のときの点 $\mathrm{P}$ は、点 $(3, 3)$ に関して対称である。

点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標を確率変数 $X$ とし、その期待値 $E[X]$ を求めよ。

$k=1, 3, 5$ (奇数) のとき $X_k = \dfrac{k}{6} \cdot 6 = k$
$k=2, 4, 6$ (偶数) のとき $X_k = (1 - \dfrac{k}{6}) \cdot 6 = 6 - k$

$E[X]$ の値を、次の A〜D から選べ。

点 $\mathrm{P}$ の $y$ 座標を確率変数 $Y$ とし、その期待値 $E[Y]$ を求めよ。
（ヒント：小問2, 3の結果を利用してもよい）