数学 II・B・C

確率分布と統計的推測（二項分布の正規近似）

二項分布正規近似確率

難しい

世論調査の確率

ある都市の住民のうち，特定の政策に賛成する人の割合（母比率）は $p=0.40$ である．この母集団から無作為に $n=900$ 人を抽出し，賛成者の人数 $X$ を調べる．

ここで， $X$ は二項分布 $B(n, p)$ に従う． $n$ が十分に大きいとき， $X$ は平均 $np$ ，標準偏差 $\sqrt{np(1-p)}$ の正規分布に近似的に従うことを用いる．

標準正規分布表を一部引用する．

$z$	$P(0 \le Z \le z)$
$1.0$	$0.3413$
$1.5$	$0.4332$
$2.0$	$0.4772$

問 1

確率分布の計算

確率変数 $X$ の平均 $E(X)$ の値として正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．

$300$

$360$

$400$

$540$

問 2

確率分布の計算

確率変数 $X$ の標準偏差 $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$ の値として正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．

（実際の計算結果と最も近い整数値を選べ．）

$12$

$13$

$15$

$18$

問 3

正規近似と確率

賛成者の人数 $X$ が $390$ 人以上となる確率 $P(X \ge 390)$ を，正規近似を用いて求めよ．最も近い値を，次のA～Dの中から一つ選べ．

（小問2で求めた標準偏差の近似値 $\sigma(X) \approx 15$ を用い，連続性の補正は無視せよ．）

$0.1587$

$0.0668$

$0.0228$

$0.3413$

問 4

応用（信頼区間）

標本比率 $\hat{p} = \frac{X}{n}$ を用いて母比率 $p$ の信頼度 $95\%$ の信頼区間を推定したい．その信頼区間の幅は，標本サイズ $n$ の何乗に比例するか．正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．

$n^1$

$n^{0.5}$

$n^{-0.5}$

$n^{-1}$

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正規分布と標準化

世論調査の確率

ここで， $X$ は二項分布 $B(n, p)$ に従う． $n$ が十分に大きいとき， $X$ は平均 $np$ ，標準偏差 $\sqrt{np(1-p)}$ の正規分布に近似的に従うことを用いる．

標準正規分布表を一部引用する．

$z$	$P(0 \le Z \le z)$
$1.0$	$0.3413$
$1.5$	$0.4332$
$2.0$	$0.4772$

問 1

確率分布の計算

確率変数 $X$ の平均 $E(X)$ の値として正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．

$300$

$360$

$400$

$540$

問 2

確率分布の計算

確率変数 $X$ の標準偏差 $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$ の値として正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．

（実際の計算結果と最も近い整数値を選べ．）

$12$

$13$

$15$

$18$

問 3

正規近似と確率

賛成者の人数 $X$ が $390$ 人以上となる確率 $P(X \ge 390)$ を，正規近似を用いて求めよ．最も近い値を，次のA～Dの中から一つ選べ．

（小問2で求めた標準偏差の近似値 $\sigma(X) \approx 15$ を用い，連続性の補正は無視せよ．）

$0.1587$

$0.0668$

$0.0228$

$0.3413$

問 4

応用（信頼区間）

$n^1$

$n^{0.5}$

$n^{-0.5}$

$n^{-1}$