数学 II・B・C

確率分布と統計的推測（仮説検定と微分積分の応用）

確率分布と統計的な推測仮説検定微分積分の応用

普通

製品の不良率と仮説検定

ある工場で製造されている製品の不良品発生率は，長らく $p_0 = 0.05$ であった．しかし，製造ラインを調整したところ，不良品発生率が低下したのではないかという見込みが立った．この見込みを検証するため，新ラインで製造された製品から無作為に $n=400$ 個を抽出して検査を行った．

この問題では，母比率 $p$ の仮説検定を行う．また，標本サイズ $n$ が十分に大きいとき，標本比率 $R$ の分布は母比率 $p$ を母平均， $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ を標準偏差とする正規分布で近似できることを用いる．

正規分布の標準化には， $Z = \dfrac{R - p}{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}}$ を用いる．

また，標準正規分布の上側 $\alpha$ 点を $z_{\alpha}$ で表す．主な値は次の通りである．

$\alpha$	$z_{\alpha}$
$0.05$	$1.645$
$0.025$	$1.960$
$0.01$	$2.326$

（必要に応じてこれらの値を用いよ．）

問 1

計算・式変形と確率分布

帰無仮説を $H_0: p = p_0$ とし，対立仮説を $H_1: p < p_0$ とする．ここで $p_0 = 0.05$ ， $n=400$ とするとき，帰無仮説のもとでの標本比率 $R$ の標準偏差 $\sigma_0$ の値として，最も適切なものを次のA～Eの中から一つ選べ．

（必要に応じて，答えの小数第4位までの近似値を用いよ．）

問 2

確率分布と統計的推測

標本調査の結果， $400$ 個の製品の中に不良品が $19$ 個含まれていた．このとき，標本比率 $R$ の値と，帰無仮説のもとでの標準化された統計量 $Z$ の値の組合せとして，最も近いものを次のA～Eの中から一つ選べ．（ $Z$ の値は小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．）

$R = 0.0475, quad Z \approx -0.18$

$R = 0.0475, quad Z \approx -0.23$

$R = 0.0475, quad Z \approx 0.23$

$R = 0.05, quad Z = 0$

$R = 0.0475, quad Z \approx -0.36$

問 3

推論と仮説検定

有意水準 $5\%$ でこの片側検定を行うとき，標本比率 $R$ が棄却域に入るための条件として，最も適切な記述を次のA～Fの中から一つ選べ．

$Z < -1.645$

$Z > 1.645$

$Z < -1.960$

$|Z| > 1.960$

$R < 0.05 - 1.960\sigma_0$

$R < 0.05 + 1.645\sigma_0$

問 4

微分積分の応用（面積）

（統計的な推測とは独立した問題．）

$t$ を実数とする．曲線 $y = x^2$ 上の点 $P(t, t^2)$ における接線 $\ell$ と， $x$ 軸および直線 $x=2$ で囲まれた図形の面積 $S(t)$ を考える．

点 $P$ は $0 < t < 2$ の範囲にあるとする．面積 $S(t)$ を最小にする $t$ の値を求めよ．

解答:

ヒント: 数値で答えよ、小数第0位ちょうど、分数形式も可

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標本比率と仮説検定