積分法と数列（区分求積法）

関数 $f(x) = x^3$ について、区間 $0 \le x \le 1$ における曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸、および直線 $x=1$ で囲まれた図形の面積 $S$ を考える。

Alt: $xy$ 平面上の $0 \le x \le 1$ の範囲で、曲線 $y = x^3$（青線）が描かれている。$x=1$ の赤い破線と $x$ 軸、 $y$ 軸で囲まれた曲線の下の部分が面積 $S$ として示されている。

この面積 $S$ は、定積分 $S = \int_{0}^{1} x^3 dx$ によって求められる。

一方、$S$ は数列の和の極限（区分求積法）によっても求めることができる。
区間 $[0, 1]$ を $n$ 等分し、その分点を $x_0 = 0, x_1, x_2, \dots, x_n = 1$ とする。
各小区間の幅は $\Delta x = \dfrac{1}{n}$ であり、$k$ 番目の分点の $x$ 座標は $x_k = \dfrac{k}{n}$ ($k=0, 1, \dots, n$) である。
各小区間 $[x_{k-1}, x_k]$ において、右端の点 $x_k$ での $f(x)$ の値を高さとする長方形の面積は $f(x_k) \Delta x = \left(\dfrac{k}{n}\right)^3 \cdot \dfrac{1}{n}$ である。
これらの $n$ 個の長方形の面積の和を $S_n$ とすると、
$S_n = \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x = \sum_{k=1}^{n} \left( \left(\dfrac{k}{n}\right)^3 \cdot \dfrac{1}{n} \right)$
と表せる。このとき、$S = \lim_{n \to \infty} S_n$ が成り立つ。