【大学入学共通テスト数学 II・B・C】【複素数平面（軌跡と図形応用）】無料練習問題と詳しい解説

複素数平面上の図形の性質

複素数平面において，原点 $O$ 以外の定点 $A(\alpha)$ および動点 $P(z)$ を考える．ここで $\alpha = 1 + \sqrt{3}i$ とする．

また，複素数 $w$ は $w = \dfrac{z-\alpha}{z}$ を満たすとする．

問 1

計算・式変形

定点 $A(\alpha)$ を極形式 $\alpha = r (\cos \theta + i \sin \theta)$ で表したときの，偏角 $\theta$ の値として正しいものを，次のA～Dの中から一つ選べ．ただし， $0 \le \theta < 2\pi$ とする．

$\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{\pi}{3}$

$\dfrac{2\pi}{3}$

問 2

複素数平面

点 $P(z)$ が原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円周上を動くとき，複素数 $w = \dfrac{z-\alpha}{z}$ の絶対値 $|w|$ の最大値として正しいものを，次のA～Eの中から一つ選べ．

問 3

複素数平面（軌跡）

複素数 $w = \dfrac{z-\alpha}{z}$ が純虚数となるような点 $P(z)$ の描く図形は何か．最も適切なものを，次のA～Eの中から一つ選べ．

（ただし， $z \ne 0$ かつ $z \ne \alpha$ とする．）

中心が $O$ の円

中心が $A$ の円

線分 $OA$ の垂直二等分線

点 $O$ と $A$ を直径の両端とする円（点 $O$ と $A$ を除く）

点 $O$ と $A$ を通る直線