【大学入学共通テスト数学 II・B・C】【複素数平面と数列（漸化式と極限）】無料練習問題と詳しい解説

複素数平面上の点の移動と数列

複素数平面上に、点 $\mathrm{P}_n$ を表す複素数 $z_n$ ( $n=0, 1, 2, \dots$ ) を考える。
$z_0 = 0$ であり、漸化式
$z_{n+1} = w z_n + 1$
によって定められる。ここで $w = \dfrac{1+i}{2}$ であり、 $i$ は虚数単位である。

問 1

複素数平面（漸化式）

この移動 $z \to wz + 1$ において、 $\alpha = w \alpha + 1$ を満たす点 $\alpha$ を不動点とよぶ。
不動点 $\alpha$ の値として正しいものを、次の A〜E から選べ。

問 2

数列（漸化式）

小問1で求めた不動点 $\alpha = 1+i$ を用いて、新しい数列 $b_n = z_n - \alpha$ を考える。
$b_n$ が満たす漸化式 [ ア ] と、その一般項 [ イ ] の組み合わせとして正しいものを、次の A〜F から選べ。

[ ア ] $b_{n+1} = w b_n$ , [ イ ] $b_n = (-1-i) w^n$

[ ア ] $b_{n+1} = w b_n$ , [ イ ] $b_n = (1+i) w^n$

[ ア ] $b_{n+1} = w b_n + 1$ , [ イ ] $b_n = (-1-i) w^n$

[ ア ] $b_{n+1} = w b_n$ , [ イ ] $b_n = -w^n$

[ ア ] $b_{n+1} = b_n + w$ , [ イ ] $b_n = -1-i + nw$

[ ア ] $b_{n+1} = \alpha b_n$ , [ イ ] $b_n = (-1-i) \alpha^n$

問 3

複素数平面（距離と極形式）

点 $\mathrm{P}_n(z_n)$ と不動点 $\mathrm{A}(\alpha)$ との間の距離 $|\vec{\mathrm{AP}_n}| = |z_n - \alpha|$ を $n$ を用いて表した式として正しいものを、次の A〜D から選べ。

$\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n$

$\sqrt{2} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$

$\sqrt{2} \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n$

$2 \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n$

問 4

数列（極限）

$n \to \infty$ としたときの $\lim_{n \to \infty} |z_n - \alpha|$ の値 [ ア ] と $\lim_{n \to \infty} z_n$ の値 [ イ ] の組み合わせとして正しいものを、次の A〜D から選べ。

[ ア ] $0$ , [ イ ] $1+i$

[ ア ] $0$ , [ イ ] $0$

[ ア ] $\sqrt{2}$ , [ イ ] $1+i$

[ ア ] $1$ , [ イ ] $0$

問 5

複素数平面と数列（面積と無限級数）

$\mathrm{A}(\alpha)$ を不動点とする。 $n=0, 1, 2, \dots$ に対して、 $\triangle \mathrm{AP}_n \mathrm{P}_{n+1}$ の面積を $S_n$ とする。
$S_n$ の一般項 [ ア ] と、その面積の総和 $L = \sum_{n=0}^{\infty} S_n$ の値 [ イ ] の組み合わせとして正しいものを、次の A〜D から選べ。

[ ア ] $S_n = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n+1}$ , [ イ ] $L = 1 + \sqrt{2}$

[ ア ] $S_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$ , [ イ ] $L = 1$

[ ア ] $S_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$ , [ イ ] $L = 2$

[ ア ] $S_n = \sqrt{2} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$ , [ イ ] $L = 2\sqrt{2}$