関数・図形と方程式と確率（統合）

関数 $f(x)=e^{-x/2}\sin x$（$x$ は弧度法）について，$x>0$ における最初の極大値の位置を求める手順として適切な並びを次から選べ。

手順：

• A：$f'(x)=e^{-x/2}\left(\cos x-\dfrac{1}{2}\sin x\right)$ を求める。
• B：$f'(x)=0$ を $\cos x=\dfrac{1}{2}\sin x$ と同値変形する。
• C：$\tan x=2$ を解き，$x$ の解を求める（弧度法）。
• D：$x>0$ の解のうち最小のものを極大の位置として選ぶ。

（選択肢は並びを表す）

点 $A(2,1)$ から直線 $\ell: y=x$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。$H$ の座標として正しいものを選べ。

複素数平面で円 $C:|z|=5$ と直線 $\ell: \Im z=\Re z$ の交点のうち第1象限にある点を $P$ とする。$z_P$ を極形式 $r(\cos\theta+i\sin\theta)$（$0<\theta<\pi/2$）で表すとき，正しいものを選べ。

点列 $(x_n,y_n)$ を $(x_0,y_0)=(2,1)$，および $\displaystyle (x_{n+1},y_{n+1})=\left(\frac{x_n+y_n}{2},\frac{x_n+y_n}{2}\right)$（$n\ge0$）で定める。$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$ の値を答えよ（分数可）。