未開始約6分

式の展開と整理

二次関数の計算に必要な展開と同類項の整理を、符号ミスを防ぐ手順とともに身につけます。

この教材でできるようになること

$a(b+c)=ab+ac$ を使って、カッコを正しく外せる
$(x+p)(x+q)$ を展開し、 $x^2$ 、 $x$ 、定数の項に整理できる

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数字で体感：(x+3)²を展開する

1
二乗は「2倍」ではなく、同じ式を2回かけることです。
$(x+3)^2=(x+3)(x+3)$
2
左の $x$ を、右のカッコの $x$ と $3$ の両方にかけます。
$x$
3
左の $3$ も、右のカッコの $x$ と $3$ の両方にかけます。
$x$
4
最後に同じ種類の項をまとめます。 $3x+3x=6x$ です。
$(x+3)^2=x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9$

2

展開で使う3つの基本形

カッコの外の数や式は、カッコ内のすべての項にかけます。積の形では、左の各項を右の各項に1回ずつかけます。

基本形	展開後	覚え方
$a(b+c)$	$ab+ac$	外の $a$ を両方にかける
$(x+p)^2$	$x^2+2px+p^2$	真ん中は「 $p$ と $x$ をかけて2倍」
$(x+p)(x+q)$	$x^2+(p+q)x+pq$	足して $x$ の係数、かけて定数項

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例題：展開して同類項を整理する

1
$3(x-2)+(x+4)(x-1)$ を展開します。まず、前半のカッコを外します。
$3(x-2)=3x-6$
2
後半は、左の2項を右の2項へそれぞれかけます。
$(x+4)(x-1)=x^2-x+4x-4=x^2+3x-4$
3
$x^2$ の項、 $x$ の項、定数項の順に並べ、同類項をまとめます。
$3x-6+x^2+3x-4=x^2+6x-10$
4
このように $x^2+bx+c$ の形へ整理できれば、次の「平方完成」で頂点が見える形へ変換できます。
$x^2+6x-10=(x+3)^2-19$

4

自分で展開して係数をそろえる

$2(x-1)+(x+3)(x-2)$ を展開し、 $x^2$ の項、 $x$ の項、定数項の順に整理してください。

入力の注意： 負の係数や定数は、マイナスをつけて入力します（例： $-3$ ）。

$2(x-1)+(x+3)(x-2)=\square x^2+\triangle x+\lozenge$

□：x² の係数

△：x の係数

◇：定数項

5

条件を1つ変えて、前の展開結果を再利用する

前問の $2(x-1)+(x+3)(x-2)=x^2+3x-8$ で、最初の係数だけを $2$ から $3$ に変えます。増える $(x-1)$ を前の結果に足して、新しい式を完成させてください。

$x^2+3x-8+(x-1)=x^2+\square x+\triangle$

xの係数

定数項

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振り返り：展開と整理の4ステップ

カッコの外の数や式を、カッコ内のすべての項にかける
マイナスも係数の一部として一緒にかける
$x^2$ 、 $x$ 、定数項の順に並べる
同じ次数の項だけをまとめ、 $x^2+bx+c$ の形にする

仕上げ

確認問題

確認問題に合格するとこの単元を完了します。

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