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二次関数とx軸の共有点・判別式

二次関数とx軸の共有点を、グラフと判別式から判断します。

この教材でできるようになること

二次関数とx軸の共有点は、グラフが x軸（y=0）と交わる点 です。まずは形の違う3つの放物線を見比べましょう。

グラフを読み込み中…

青い放物線 f(x)=x²−4x+3 はx軸と(1,0),(3,0)の2点で交わる。橙色の g(x)=x²−4x+4 は(2,0)でx軸に接する。緑色の h(x)=x²−4x+5 はx軸より上にあり交わらない。

共有点の個数は、x軸上で $y=0$ とおいたときの 実数解の個数 と同じです。

二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ （ $a\ne0$ ）の判別式を $D=b^2-4ac$ と定めます。 $D$ は、解の公式の平方根の中身です。

$D=b^2-4ac$

判別式	実数解	x軸との共有点	グラフの様子
D>0	2個	2個	2点で交わる
D=0	1個（重解）	1個	1点で接する
D<0	0個	0個	交わらない

例えば $x^2-4x+3=0$ では $D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=4>0$ なので、異なる2つの実数解をもちます。一方、 $x^2-4x+4=0$ では $D=0$ 、 $x^2-4x+5=0$ では $D=-4<0$ です。

1
$y=2x^2-4x-6$ とx軸の共有点を考えます。まず $y=0$ とおき、二次方程式にします。
$2x^2-4x-6=0$
2
$a=2,b=-4,c=-6$ なので、判別式は $D=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-6)=64>0$ です。したがって、共有点は2個あります。
$D=b^2-4ac=16+48=64>0$
3
解の公式で $x=-1,3$ 。よって、x軸との共有点は $(-1,0)$ と $(3,0)$ です。
$x=\frac{4-8}{4}=-1,\quad x=\frac{4+8}{4}=3$

$y=x^2+2x+1$ とx軸の共有点を調べます。判別式、共有点の個数、共有点のx座標を答えましょう。

$x^2+2x+1=0$

判別式 D

x軸との共有点の個数

2個（2点で交わる）

1個（1点で接する）

0個（交わらない）

共有点のx座標

前問の $x^2+2x+1=0$ で、定数項だけを $1$ から $2$ に変えます。 $a=1,b=2$ は再利用し、新しい判別式と共有点の個数を答えてください。

$D=2^2-4\cdot1\cdot2$

新しい判別式D

x軸との共有点

0個（交わらない）

1個（接する）

2個（交わる）

仕上げ

確認問題に合格するとこの単元を完了します。

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