二次関数の最大・最小

平方完成した形 $y=a(x-p)^2+q$ では、頂点は $(p,q)$ です。定義域が実数全体のとき、$a>0$（下に凸）なら頂点で最小値をとり、最大値はありません。$a<0$（上に凸）なら頂点で最大値をとり、最小値はありません。

区間 $l\le x\le r$ が指定されたら、次の順番で調べます。

1. 頂点の $x=p$ が区間の内側にあるか確認する
2. 内側なら、頂点の値と両端点の値を計算する
3. 計算した値を比べて、最大値と最小値を決める

例えば $f(x)=(x-1)^2-2$、$0\le x\le4$ なら、頂点 $x=1$ は区間内です。$f(1)=-2$、$f(0)=-1$、$f(4)=7$ を比べると、最小値は $-2$、最大値は $7$ です。

頂点の $x=p$ が区間の外側にあるとき、頂点の値は候補に入れません。区間内でのグラフの変化を確認し、両端点の値を比べます。

例えば $g(x)=-(x-2)^2+3$、$-1\le x\le1$ では、頂点の $x=2$ は区間の右側です。区間内では右へ進むほど値が大きくなるため、$g(-1)=-6$ と $g(1)=2$ を比べます。最大値は $2$、最小値は $-6$ です。