二次不等式をグラフから解く

$f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ を考えます。グラフは $x=1,3$ でx軸と交わります。

• $f(x)>0$ は、グラフが x軸より上 にある範囲です。
• $f(x)<0$ は、グラフが x軸より下 にある範囲です。

境界の $x=1,3$ では $f(x)=0$ です。不等号に「$=$」が付くかどうかで、境界を解に含めるかが決まります。

不等式	解	境界
$f(x)>0$	$x<1,\ 3<x$	含めない
$f(x)\ge0$	$x\le1,\ 3\le x$	含める
$f(x)<0$	$1<x<3$	含めない
$f(x)\le0$	$1\le x\le3$	含める

$g(x)=-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3)$ は上に凸で、同じ $x=1,3$ でx軸と交わります。今度は交点の 内側がx軸より上、外側がx軸より下です。

共有点が2個ない場合も考え方は同じです。

• $h(x)=(x-2)^2$ はx軸に接し、常に $h(x)\ge0$ です。
• $k(x)=(x-2)^2+1$ はx軸より上にあり、常に $k(x)>0$ です。