未開始約5分

5分でわかる平方完成

共通テスト数学I・Aの二次関数に必要な平方完成を、例題と確認問題で身につけます。

この教材でできるようになること

  • x²+bx+c を平方完成し、定数項まで整理できる
  • y=(x+p)²+q の形から頂点と最小値を読み取れる
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数字で体感：y=x²+6x+5

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    x の係数6の半分は3です。まず (x+3)² を作ります。

    (x+3)2=x2+6x+9(x+3)^2=x^2+6x+9

  2. 2

    元の式にはない9を作ったので、その9を必ず引きます。カッコ内の符号に関係なく、後ろは「作った分を引く」と覚えましょう。

    x2+6x+5=(x+3)2−9+5x^2+6x+5=(x+3)^2-9+5

  3. 3

    最後に定数項の -9+5 をまとめます。

    y=(x+3)2−4y=(x+3)^2-4

  4. 4

    💡 (x+3)² は必ず0以上です。だから、x=-3で平方部分が0になり、残った -4 がそのまま最小値になります。頂点は(-3,-4)です。

    y=(x+3)2⏟0以上−4⇒最小値 −4y=\underbrace{(x+3)^2}_{0以上}-4\quad\Rightarrow\quad \text{最小値 }-4

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最後に文字式でまとめる

数字の6を文字b、定数項の5を文字cに置き換えても、手順は同じです。

y=x2+bx+c=(x+b2)2−(b2)2+cy=x^2+bx+c=(x+\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2+c

たとえば x²-6x でも、6の半分にあたる数は-3、その二乗は9なので、後ろは-9です。

x2−6x=(x−3)2−9x^2-6x=(x-3)^2-9

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同じ手順で変形する

y=x²+8x+19 を平方完成してください。

y=(x+□)2+△y=(x+\square)^2+\triangle

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振り返り：平方完成の4ステップ

  • xの係数の半分をカッコ内に置く
  • 作った数の二乗を必ず引く
  • 残った定数項をまとめる
  • y=(x+p)²+q から頂点(-p,q)を読み取る

仕上げ

確認問題

確認問題に合格するとこの単元を完了します。

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