未開始約9分

確率と条件付き確率

条件によって分母となる集団が変わることを理解し、表や樹形図から条件付き確率を求めます。

この教材でできるようになること

どの結果も同様に確からしいとき、事象 $A$ の確率は

$P(A)=\frac{A\text{ が起こる場合の数}}{\text{起こり得るすべての場合の数}}$

例えば1個のさいころで偶数が出る確率は、条件に合う目が $2,4,6$ の3個、全体が6個なので $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ です。

「事象 $B$ が起きたときに事象 $A$ が起きる確率」を $P(A\mid B)$ と書きます。すでに $B$ が起きた世界だけに絞るので、分母は $P(B)$ です。

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

40人の部活動参加者	合格	不合格	合計
1年生	$12$	$8$	$20$
2年生	$6$	$14$	$20$
合計	$18$	$22$	$40$

「1年生のうち合格した人」は1年生20人を分母にするので、 $\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$ です。

一方、「合格者のうち1年生」は合格者18人を分母にするので、 $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$ です。条件を逆にすると、分母が $20$ から $18$ に変わります。

1
赤玉3個、青玉2個から続けて2個取り出します。1個目が赤だったとき、袋には赤2個、青2個が残ります。
$P(\text{2個目が赤}\mid\text{1個目が赤})=\frac{2}{4}=\frac12$
2
2個とも赤である確率は、「1個目が赤」と「その条件で2個目も赤」をかけます。
$P(\text{2個とも赤})=\frac35\times\frac24=\frac3{10}$
3
これは乗法定理 $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$ の使い方です。取り出すたびに分母と分子が変わります。

30人のうち電車通学は12人で、そのうち弁当を持参する人は8人です。電車通学であるとき、弁当を持参する条件付き確率を既約分数で選んでください。

$P(\text{弁当}\mid\text{電車通学})=\square$

条件付き確率

$\dfrac{4}{15}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

前問では「電車通学12人のうち弁当持参8人」でした。弁当持参者が全体で10人だと分かったので、条件を逆にして「弁当持参であるとき電車通学」の確率を求めてください。両方に当てはまる8人は再利用できます。

$P(\text{電車通学}\mid\text{弁当})=\frac{8}{10}$

新しい条件付き確率

$\dfrac45$

$\dfrac23$

$\dfrac8{30}$

仕上げ

確認問題に合格するとこの単元を完了します。

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