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正弦定理・余弦定理

与えられた辺と角の組合せから正弦定理・余弦定理を選び、三角形の辺や面積を求めます。

この教材でできるようになること

三角形 $ABC$ では、角 $A$ の向かいの辺を $a$ 、角 $B$ の向かいの辺を $b$ 、角 $C$ の向かいの辺を $c$ と表します。定理へ代入する前に、図へ対応を書き込むことが重要です。

グラフを読み込み中…

三角形ABCで、角Aの向かいが辺a、角Bの向かいが辺b、角Cの向かいが辺cであることを示した図。

分かっている情報	選びやすい定理
向かい合う辺と角の組が1組あり、別の辺または角を求める	正弦定理
2辺とその間の角から残りの辺を求める	余弦定理
3辺から角を求める	余弦定理

1
正弦定理では、辺と向かいの角を1組ずつ対応させます。 $R$ は外接円の半径です。
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$
2
$A=30^\circ$ 、 $a=4$ 、 $B=45^\circ$ のとき、 $a$ と $A$ 、 $b$ と $B$ を対応させます。
$\frac{4}{\sin30^\circ}=\frac{b}{\sin45^\circ}$
3
左辺は $4\div\frac12=8$ なので、 $b=8\times\frac{\sqrt2}{2}=4\sqrt2$ です。
$b=4\sqrt2$

1
角 $A$ をはさむ2辺 $b,c$ が分かるとき、向かいの辺 $a$ は余弦定理で求めます。
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
2
3辺 $a,b,c$ から角 $A$ を求めるときは、同じ式を $\cos A$ について解いた形を使います。
$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
3
$b=5$ 、 $c=7$ 、 $A=60^\circ$ を代入します。
$a^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos60^\circ$
4
$\cos60^\circ=\frac12$ なので、 $a^2=25+49-35=39$ 、したがって $a=\sqrt{39}$ です。辺の長さなので正の値を選びます。
$a=\sqrt{39}$

2辺 $b,c$ とその間の角 $A$ が分かれば、高さを $c\sin A$ と見て面積を求められます。

$S=\frac12bc\sin A$

例えば $b=6$ 、 $c=8$ 、 $A=30^\circ$ なら、 $S=\frac12\times6\times8\times\frac12=12$ です。

$b=3$ 、 $c=8$ 、 $A=60^\circ$ のとき、余弦定理で辺 $a$ の長さを求めてください。

$a^2=3^2+8^2-2\cdot3\cdot8\cos60^\circ$

辺 a の長さ

前問の $b=3,c=8$ はそのままに、角 $A$ だけを $60^\circ$ から $120^\circ$ に変えます。 $\cos120^\circ=-\frac12$ を使い、新しい $a^2$ を選んでください。

$a^2=3^2+8^2-2\cdot3\cdot8\cos120^\circ$

新しいa²

$49$

$73$

$97$

仕上げ

確認問題に合格するとこの単元を完了します。

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