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三角形の性質と五心

角の二等分線と三角形の五心を、図に書き込みながら辺の比や距離の関係へ結び付けます。

この教材でできるようになること

三角形 $ABC$ で、 $AD$ が $\angle A$ の二等分線なら、点 $D$ は辺 $BC$ を 角の両側の辺 $AB,AC$ と同じ比 に分けます。

$AB:AC=BD:DC$

「角を半分にする」だけでなく、「向かいの辺を比に分ける」ことまでセットで覚えます。

グラフを読み込み中…

三角形ABCで、頂点Aから辺BCへ角の二等分線ADを引き、AB対ACとBD対DCが等しいことを示す図。

中心	交わる線	大切な性質
外心	3辺の垂直二等分線	3頂点までの距離が等しい
内心	3つの内角の二等分線	3辺までの距離が等しい
重心	3本の中線	中線を頂点側から $2:1$ に分ける
垂心	3本の垂線	各頂点から向かいの辺へ下ろした垂線の交点
傍心	1つの内角と2つの外角の二等分線	三角形ごとに3つあり、1辺と他の2辺の延長までの距離が等しい

交点を作る線を図へ書き込むと、名前だけの暗記を避けられます。下の図では、各中心を決める代表的な2本の線を示しています。

グラフを読み込み中…

4つの三角形を並べ、垂直二等分線の交点である外心O、角の二等分線の交点である内心I、中線の交点である重心G、垂線の交点である垂心Hを比較した図。

1
$AB=6$ 、 $AC=9$ 、 $BC=10$ とし、 $AD$ が $\angle A$ の二等分線であるとします。
$AB:AC=BD:DC=6:9=2:3$
2
$BD=2k$ 、 $DC=3k$ と置きます。辺 $BC$ 全体が10なので、 $2k+3k=10$ です。
$5k=10\quad\Rightarrow\quad k=2$
3
したがって、 $BD=4$ 、 $DC=6$ です。
$BD=4,\quad DC=6$
4
実戦では、全体を $2+3=5$ つに分けたうち $BD$ は2つ分、と考えれば、 $10\times\dfrac25=4$ とすばやく求められます。
$BD=BC\times\frac{2}{2+3}=10\times\frac25=4$
5
$AB,AC$ を同じ倍率で変えても比 $2:3$ が変わらなければ、 $BC$ の分け方も変わりません。数値ではなく比の構造を使います。

$AB=9$ 、 $AC=15$ 、 $BC=16$ で、 $AD$ が $\angle A$ の二等分線です。 $DC$ の長さを求めてください。

$AB:AC=BD:DC$

BD:DC

の比

$5:3$

$9:16$

$3:5$

$15:16$

$DC$ の長さ

前問の $AB:AC=3:5$ はそのままに、 $BC$ だけを16から24へ変えます。 $BD:DC=3:5$ を再利用して、新しい $DC$ を求めてください。

$DC=24\times\frac{5}{3+5}$

新しいDCの長さ

仕上げ

確認問題に合格するとこの単元を完了します。

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