未開始約12分

漸化式と和の設計

漸化式の型を見分け、差・比・補助数列を使って一般項や部分和へつなげます。

この教材でできるようになること

漸化式の型に応じた変形を選べる
補助数列を作って等比型へ変換できる

1

不動点を引いて等比型にする

$a_{n+1}=pa_n+q$ では、 $\alpha=p\alpha+q$ を満たす不動点 $\alpha$ を引くと等比数列になります。

$a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)$

2

例題：不動点を使う

1
$a_{n+1}=2a_n+3$ の不動点は $\alpha=-3$ です。
$\alpha=2\alpha+3\Rightarrow\alpha=-3$
2
$b_n=a_n+3$ とおけば等比数列です。
$b_{n+1}=2b_n$

3

補助数列を選ぶ

$a_{n+1}=3a_n-4$ を等比型にする置き換えを選んでください。

置き換え

$b_n=a_n-2$

$b_n=a_n+2$

$b_n=a_n-4$

4

和まで求める

$b_n=2^{n-1}$ の第1項から第n項までの和を選んでください。

和

$2^n-1$

$2^{n-1}$

$2n$

5

まとめ

一次漸化式では不動点を探す
不動点を引いて等比型へ変える
一般項から必要な和を計算する

仕上げ

確認問題

確認問題に合格するとこの単元を完了します。

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