未開始約12分

加法定理と三角関数の合成

加法定理から和積公式を組み立て、複数の三角関数を振幅が見える形へ変形します。

この教材でできるようになること

  • 加法定理から和積公式を導ける

  • 三角関数の和を振幅が見える形へ変形できる

1

対称な角の和は中央の角でくくる

sin⁡(x−a)+sin⁡(x+a)=2sin⁡xcos⁡a\sin(x-a)+\sin(x+a)=2\sin x\cos a

左辺をそれぞれ加法定理で展開すると、cos⁡xsin⁡a\cos x\sin a の項が消えます。公式を暗記するだけでなく「対称なずれが相殺する」と捉えます。

2

例題：3項の和の最大値

  1. 1

    対称な2項をまとめます。

    sin⁡(x−a)+sin⁡(x+a)=2sin⁡xcos⁡a\sin(x-a)+\sin(x+a)=2\sin x\cos a

  2. 2

    中央の項を加え、係数の絶対値が最大値です。

    F(x)=(1+2cos⁡a)sin⁡x,max⁡F=∣1+2cos⁡a∣F(x)=(1+2\cos a)\sin x,\quad \max F=|1+2\cos a|

3

対称和を変形

cos⁡(x−a)+cos⁡(x+a)\cos(x-a)+\cos(x+a) の変形を選んでください。

変形式
4

最大値へつなぐ

(1−2cos⁡a)sin⁡x(1-2\cos a)\sin x の xx に関する最大値を選んでください。

最大値
5

まとめ

  • 対称な角は加法定理で展開する

  • 相殺する項を見つけて共通因数でくくる

  • 最大値は振幅の絶対値

仕上げ

確認問題

確認問題に合格するとこの単元を完了します。

合格ラインを読み込み中
単元一覧に戻る数学Ⅱ・B・Cの演習問題一覧を見る